数学思想方法的几次重大转折

摘自 譚建國《數學美賞析(下)》kemin稍作整理
—本文作者任教於中國雲南大學數學系、 基礎數學研究所—

(一)数学思想方法的几次重大转折
历史表明，数学的发展，不仅表现为量的积累，而且还表现为质的飞跃。数学思想方法在历史上经历了四次重大转折：从算术到代数，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，就充分说明这一点。回顾、总结和分析这四次重大转折，将有助于我们全面了解数学思想方法演变的历史及其规律。

1.从算术到代数
算术和代数，作为最基础而又最古老的两个分支学科，有着不可分割的亲缘关系。算术是代数产生的基础，代数是算术发展到一定阶段的必然产物。从算数发展到代数，是人们对数及其运算在认识上的突破，也是数学在思想方法上的一次重大转折。
在算术解题法中，未知数是不允许作为运算的对象的，它们没有参加运算的权利。而在代数解题法中，所列出的方程作为一种条件等式，已是由已知数和未知数构成的有机统一体。在这个统一体中，未知数和已知数有着同等的权利，即未知数在这里也变成了运算的对象，它们不再是消极、被动地静等在等式的一边，而是和已知数一样，可以接收各种运算指令，并可以依照某种法则从等式的一边移到另一边。解方程的过程，实质上就是未知数和已知数进行重新组合的过程，也是未知数向已知数转化的过程。
解方程是古典(经典)代数最基本的内容。方程在数学中占有重要的地位，它的出现不仅极大地扩充了数学应用的范围，使得许多算术解题法不能解决的问题能够得以解决，而且对整个数学的进程产生巨大的影响。特别是数学中的许多重大发现都与它密切相关，例如，
对二次方程的求解，导致虚数的发现；
对五次和五次以上方程的求解，导致群论的诞生；
对一次方程组的研究，导致线性代数的建立；
应用方程解决几何问题，导致解析几何的形成；
等等。
显然，代数解题法(相对于算术解题法)更具有新奇性和简单性(算术解题法需要更强的技巧)

2.从常量数学到变量数学
算术、初等代数、初等几何和三角，构成了初等数学的主要内容。它们都以常量即不变的数量和固定的图形为其研究对象，因此这部分内容，也称为常量数学。运用常量数学可以有效地描述事物和现象相对稳定的状态。
可是，对于描述运动和变化，却是无能为力的，于是便产生了从量上描述事物的运动和变化规律的数学部分-变量数学。从常量数学到变量数学，是数学在思想方法上的又一次重大转折。

自然科学中研究变量的几个典型问题。
数学的发展始终受着自然科学的影响。特别是，自然科学通过向数学提出各种重大的问题，在一定程度上推动着数学的发展。变量数学就是在回答十六、十七世纪自然科学提出的大量数学问题过程中，酝酿和创立起来的。古希腊的阿基米德(Archimedes，公元前287-212)等人在解答数学内部的某些问题时，已经十分接近了微分和积分的计算，这些计算实际上给出了微积分的原始雏型。但是，微积分理论却没能在阿基米德的时代确立，一直到十七世纪才得以完成。其原因之一，就是十七世纪以前生产和自然科学所提出的问题，常量数学大都可以解决，对变量数学的需求缺乏迫切性。然而，到了十七世纪，随着欧洲封建社会开始解体和资本主义工场手工业向机器大生产的过渡，自然科学从神学的桎梏下解放出来，开始大踏步地前进。这时，生产和自然科学部门，向数学提出一系列必须从运动变化和发展观点来研究事物的新问题。这些新问题，大体可以分为以下五种类型：
第一，描述非匀速运动物体的轨迹。开普勒在总结大量观测资料的基础上，发现行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆；伽利略(G．Galilei，1564一1642)明确提出，各种抛射物体诸如炮弹和石头的运动轨迹是抛物线。他们的工作引起了人们对圆锥曲线重新研究。圆锥曲线本来早在古希腊时代就被阿波罗尼(Apollonius，约公元前262-190)等人认真研究过，不过在十六世纪之前人们只是出自纯数学的兴趣，而且是用静态的观点来研究图形的性质，即把它们看作是由平面从不同角度截锥体而来的。行星绕日运动和抛体运动则要求人们用运动和变化的观点来研究圆锥曲线，即把曲线看成是经物体运动而生成且随时间而变化着的轨迹。
第二，求变速运动物体的速度或路程。已知变速运动的物体在某段时间内经过的路程，求物体在任意时刻的速度和加速度：反过来，已知物体运动的速度或加速度，求某段时间内经过的路程。求物体运动的速度或路程是一个古老问题，但以前人们处理的大都是匀速运动的情况，对于变速运动，只能采用求平均速度的方法给出问题的近似解。自然科学的发展则要求精确地求出变速运动的物体在某一时刻的瞬时速度，或在某一段时间内所经过的路程。这就使传统的数学方法完全不适用了。
第三，求曲线在任一点的切线。这个问题主要来源于光学和力学的需要。在光学中，要研究光线在不同介质的通道，这就涉及到光线在曲面上的反射角或进入另一个介质的折射角，而这些角是光线同曲线的法线所夹的角，法线又是垂直于切线的，所以问题就归结于求出曲线的切线；在力学中，运动物体在它轨迹上任一点的运动方向，实质上就是轨迹上这一点的视线方向。
第四，求变量的极值，即求变量在某种条件下所能达到的最大值或最小值。力学和天文学涉及到的这类问题较多。例如，炮弹运行的水平距离是一个随发射角的变化而变化的变量，求发射角为多大时这个水平离最大。再如，行星运动与太阳距离是个变量，求这个变量所能达到的最大值和最小值等等。
第五，计算曲线长度、曲边形面积、曲面体体积、物体的重心、变密度物体的重量以及大质量物体之间的引力等，求积问题也是一个古老的问题。古希腊学者为解决这类问题曾创立穷竭法，但这个方法缺乏一般性，只能解决某些特殊问题。求物体的重心、变密度物体的重量以及大质量物体之间的引力，就其思想方法而言，也属于这一类问题。
不难看出上述五类问题有一个共同的特征；就是要求把“变量”作为其研究象。这些问题成为十六、十七世纪数学研究的中心课题，正是对这个中心课题的深入研究，导致了变量数学的产生。

变量数学的产生及其意义
变量数学产生于十七世纪。它大体上经历了两个具有决定性的重大步骤。第一个步骤是解析几何的产生。1637年，法国数学家笛卡儿发表《方法论》一书，书后有三篇附录，其中一篇叫做《几何学》。在这篇附录中，他首次明确提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线。这篇附录的问世，是解析几何产生的重要标志。和笛卡儿同时代的法国业余数学家费尔马，对解析几何的创立也作出了突出功贡献，在数学史上和笛卡儿一起分享着解析几何创立者的荣誉。但他关于这方面的文章直到1679年，即他去世两年之后，才发表出来。
变量数学产生的第二个决定性步骤是微积分的创立。十七世纪许多著名数学家、天文学家和物理学家都参与了这一发明的研究工作。其中贡献最大的要属牛顿(I.Newton， 1642一1727)和莱布尼茨(G，W．Leibniz，1646-1716)两个人。牛顿主要是从运动学来研究和建立微积分的。他的微积分思想最早出现在1665年5月20日的一页文件中。这一天可做为微积分诞生的日子。他写了《曲线求积论》(1704年出版）和《流数术方法和无穷级数》(1736年出版)两部专论．微积分的著作。这两部著作集中体现了他在微积分方面的研究成果。他称连续变量为“流动量”，用符号v、x、y、z等表示。把它们的导数称为“流数”(或“流动率”’“速度”，“迅度”)，并用加小点的字母如表示。他还使用了术语“刹那”(或“瞬”)，相当于表示变量的微分dx、dy等。
莱布尼茨是一个多才多艺的学者，一生中突出的贡献之一是独立地完成微积分学的创立工作。他创立微积分主要是从几何角度出发。他的微积分思想最初体现在1675年的手稿之中。1864年，他在《学艺》杂志上发表的论文《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，是历史上最早公开发表的关于微积分学的文章。1686年，他在该杂志上又发表了历史上第一篇关于积分学的文章。他还是历史上最杰出的符号创造家之一。他所发明的微积分符号，远远优于牛顿的符号，对微积分的发展有重大的影响。现今通用的符号dx、dy、等，就是由莱布尼茨精心创造的。
变量数学产生的两个主要步骤都是在十七世纪完成的，因此十七世纪也就成了常量数学向变量数学转变的时期。变量数学的产生，有着极其重要的意义，其具体表现可概括为以下三个方面。
首先，变量数学的产生，使数学自身在思想方法上发生了重大的变革，由此带来整个数学面貌的根本性改观。通过这次变革，常量数学的许多分支学科，诸如代数、几何、三角和数论等，由于变量数学的渗透而在内容上得到了极大的丰富，在思想方法上发生了深刻的变化。例如可把解方程理解为求函数的零点，借助分析的方法给出了代数基本定理的严格证明等等。通过这次变革，新的数学分支学科雨后春笋般地涌现出来，诸如解析数论、微分几何、常微分方程论、偏微分方程论、积分方程论、级数论、差分学、实变函数论和复变函数论等。总之，从变量数学产生后，变量数学的思想方法很快就在整个数学中占据了主导地位，长时期内规定和影响着数学发展的方向。
其次，变量数学的产生，使自然科学描述现实物质世界的运动和变化过程成为可能。在现实世界中，“静”和“常”总是暂时的、相对的，“动”和“变”则是永恒的、绝对的。这正如恩格斯所描述的：“整个自然界，从最小的东西到最大的东西，从沙粒到太阳，从原生生物到人，都处于永恒的产生和消灭中，处于不断的流动中，处于无休止的运动和变化中。”自然科学的对象是运动变化着的物质世界，变量数学的产生，为自然科学定量地描述和研究物质世界的运动．变化规律提供了强有力的工具。恩格斯十分重视微积分在自然科学中的作用，他指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动。”自变量数学产生以后，数学在自然科学各部门的应用范围得到了空前的扩展。
第三，变量数学的产生具有重大的哲学意义。变量数学的基本概念变量、函数、极限、导数和微分，以及微分法和积分法，从本质上看，不外是辩证法在数学上的运用。恩格斯曾对此明确指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学”．可以说，变量数学的产生，是辩证法在数学中取得的一次根本性胜利。正象恩格斯所指出的：“在一切理论成就中，未必且有什么象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。随着变量数学的思想与方法在数学中的全面渗透，数学日益成为“辩证的辅助工具和表现方式。”这不仅为后来数学的健康发展提供了正确的思维方法，而且又为辩证法的普适性从数学上提供了生动的例证。

3.从必然数学到或然数学
从必然数学到或然数学，是数学思想方法的又一次重大转折。所谓必然数学，是指描述和研究现实世界的必然现象及其规律的那部分数学，它包括通常的算术、三角、几何、代数、微积分、微分方程论、积分方程论和函数论等分支学科。必然数学在科学技术、社会实践以及日常生活中有着广泛的应用，成为人们认识和改造世界的有力工具。然而，在研究和解决现实世界大量存在的偶然现象中的量及其关系问题上，必然数学就无能为力了，需要创造新的数学方法。于是，一个新的数学领域-或然数学便被开拓出来了。
由于随机现象在现实世界中大量存在着，因此随着科学技术和社会实践的发展，以概率论为基础的或然数学很快地蓬勃发展起来，并越来越显示出它的巨大威力。
首先，或然数学与必然数学、自然科学与社会科学相互作用产生出许多新的学科，如平稳随机过程理论、马尔科夫过程论、多元分析、试验分析、统计物理学、统计生物学、统计医学和概率逻辑等。
其次，或然数学的理论和方法，在科学技术、国防、工农业和经济各部门得到广泛的应用，特别是在电子技术、自动控制、气象预报、地震预报、地质勘探、企业管理、公共事业以及国防中的防空、巡逻搜索等部门已经取得明显的社会效益。
容易理解，以概率论为基础的或然数学其方法与必然数学相比是新奇的，相对所要研究、考察的数学对象，其方法又是简单的。

4.从明晰数学到模糊数学
人们在社会实践和科学研究中遇到的各种量，依其界限是否分明可分为这样两类:一类是明晰的，另一类是模糊的。用于描述明晰量及其关系的变化规律的数学称为明晰数学。
明晰数学是研究明晰量的有力工具，但对模糊的量它就不适用了。人们在寻找处理模糊量及其关系变化规律的数学方法过程中，创立了一门新的数学分支学科-模糊数学。模糊数学的产生，是数学思想方法的又一次重大转折。
模糊数学决不是把已经很精确的数学变得模模糊糊，而是用精确的数学方法来处理过去无法用数学描述的模糊事物，因为在现实世界里如果要想绝对地精确是办不到的，而我们也只能是把事物的不精确程度降低到无关紧要的水平罢了。模糊数学的出现，给我们研究那些复杂的，难以用精确的数学描述的问题带来了方便而又简单的方法。国际上有人说它是“异军突起”。也正是因为这点，模糊数学才能渗透到各个领域里去，并且显示出强大的生命力。
模糊数学虽然只有二十多年的历史，从理论上还远远谈不到完善，但对于它的研究，无论基础理论还是实际应用，仍然得到了很大的发展。
在理论研究方面，首先，模糊集合概念本身不断得到扩展，产生出许多不同类型的模糊集合，如L一模糊集合、R一模糊集合、Z型集合和n级模糊集合等。其次，模糊数学的内容日渐丰富。所研究的课题已涉及到广泛的范围，如模糊数、模糊关系、模糊图、模糊向量、模糊关系方程、模糊映射及变换、模糊概率、模糊判断、模糊规划、模糊逻辑、模糊语言、模糊识别和模糊控制等等。
在应用研究方面，模糊数学的思想与方法正在广泛渗透到科学和技术的各个领域，如物理、化学、生物学、医学、心理学、气象学、环境科学、管理学、经济学、情报学、语言学、逻辑学、系统论、信息论、控制论以及人工智能等。同时，在农业、林业、建筑、采矿、冶金、地质、机器检修等许多国民经济领域都已取得初步的成果。模糊数学的理论和应用研究相结合，是模糊数学发展的一个重要课题。
人类对现实世界“量”规律的探索，是一个永无完结的认识过程。在未来数学发展的进程中，还会出现新的重大转折。特别是当代电子计算机的发展，给数学的思想方法带来了巨大的冲击，传统的单纯“人脑”支配“手工操作”的数学研究，开始由“人-机”系统来代替，数学机械化的思想已初露端倪。可以预想，由于电子计算机的进一步发展，必将使数学在思想方法上发生根本变革，并由此引起数学新的重大转折。