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数学史在数学教育中的重要性

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数学史在数学教育中的重要性
杨淑芬

数学课程在中小学里成为最不受欢迎、最枯燥乏味、最没有成就感的科目,早已是司空见惯的事,即使是大学数学系的学生,也经常是愈念愈不知所学理论究竟从何而来?又该从何而去?使数学不为学生所排斥,成为学生所喜爱的科目之一,相信是所有关心数学教育者心中企盼能达成的目标。
然而,要使大部分学生对数学产生兴趣,让学生去感受数学在人类文化上所发挥的功用,经历一些创造数学的乐趣,乃是达到此一目的的方法之一。就数学作为文化产物的观点而言,自然而然引发出数学史在数学教育上的重要性;即使从鼓励学生经历数学的创造过程来看,数学的概念发展历史在数学教育上,同样有着极其珍贵的应用价值。国际数学教育界近二十年来对数学史的逐渐重视,并成立有专门的研究小组,以及近几年来有关这方面的论文、会议、期刊的出现,即足以说明数学教育中应用数学史的这一趋势,正方兴未艾地进行着。
事实上这样的作法,可以追朔到FelixK- lein的时候。在1945年出版,为中学教师所撰写的《初等数学》 (Elementary Mathematics)中,Klein就经常从历史发展的角度来引入一个新概念。而采取这种历史取向(historical approach )的原因,则出自于个体发展与历史发展相似的想法上。例如
Klein即谈到:

从数学教学的观点来看,我们当然应该避免使学生过早接触这样抽象困难的事物。为了对我这个看法作更详细的说明,我很乐意提出生物遗传定律(Biogenetic Fundamental Law)。
根据此定律,个体的发展会缩短其阶段地经历种族的所有发展阶段。这样的想法已经成为每一个一般文化的重要部份。现在,我认为在数学中的教育,如同其它科目的教育,都应该依循此一定律,至少一般而言是如此(Klein1945, p.268)。

不只Klein有这样的想法,Henri Poincar´e更早在1908年出版的《科学与方法》(Science and Method)中透露了同样的理念:

动物学家认为:动物胚胎的发育,在短暂的期间内经过其祖先演化过程的一切地质时代,而重演其历史。看来思维的发展亦复如此。教育工作者的任务,就是要使儿童思想的发展,踏过前人的足迹,迅速地走过某些阶段,但毫不遗漏,由于这个缘故,科学史理应成为我们的第一向导(Poincar´e,1946, p.437)。

而极为关心数学教育的数学家George Polya,也写过“数学教学与生物发生律”一文,并相信这个生物定律能引发许多极为有用的研究。
当然,大师们的想法不一定完全正确,生物学上的重演说也随着遗传基因的发现而被修正,并随着科学研究器材的进步而趋于末落,但这至少给了我们一个启发:透过数学概念的历史发展,我们能够了解多少学生的想法、犯错的原因、困难阻碍发生的地方?如果我们比较一下Jean Piaget的发生认识论与数学得历史发展,将会发现这两者有某种程度的相似性是可能的(注一)。换句话说,我们有透过概念的历史发展以了解学生的想法得可能。这对以所有学生为数学教学的对象、冀望从学生的角度去帮助学生作思考的九O年代数学教育(注二),无疑地有着极大的应用价值。
如同前面曾经提过,数学史在数学教育上的价值,除了借以了解学生的想法之外,在环保意识高涨的今日,强调科学与数学的人文面向更为重要。因为除非觉醒到科学与数学不是必然将人类带往幸福之路、不是万能之神,而是人类的创造,同时人类的文化也将随科学与数学的发展而有所不同,否则是无法掌握人类周遭的生活环境往更好的方向发展的。在这种情况底下,教育出对科学与数学具有人文关怀的下一代,成了所有相关的教育学者们的责任了。而这样的考虑,同时也有增进学生对数学产生兴趣的副作用。
因此,1972年在英国Exeter举行的第二届国际数学教育会议(ICME)(注三) ,即由于意识到数学教育必需在数学课程中为历史寻求定位,而选出了70个会员成立一个“Exeter工作小组”讨论历史与数学的关联。他们认为数学史可以显示出数学是一种人类活动的结果,而不是一开始便是如此型态的结构,并能对数学与我们的社会、文化
以及和其它各种不同学科之间的关系,提供更多的认识。既然国际数学教育会议如此公开强调数学史的重要,则各方对此加以反应是可以预期的了。 1974年,英国就有两个数学教师的会议,针对如何在数学教学中使用数学史而设计。一个是4月8-11日数学学会在Surrey的Royal Holloway学院所举行的“数学史与数学教学之关联”工作小组会议;讨论了在介绍射影、非欧几何,以及微积分的课程时,如何有效利用数学史.另一个是4月16-20日数学教师协会在Nottingham的Clifton教育学院举行的“数学史中的个案研究”讨论会,从数学史的角度对教学方法、课程表的编排、解题,以及一些数学主题如数目的概念起源、度量与分数、无限大与无限小量等,进行个案的研究讨论,他们认为数学史在教学进展中,可以作为“人性化”的一个推动力。
而在1976年,NCTM(注四)出版的第31本年书中,美国的Philip S. Jones则发表了“为教学工具的数学史”一文,他肯定历史可以给与学生额外的抚慰与信心:像
Descartes发现负数时尚称它们是“错误的”,而且还避免使用负数; Gauss认为”无限是可怕的” ;Euler错误地写下一些发散级数的和等等。这些故事抚慰我们说,即使是伟大的人物在面对今天我们感到相当完整清楚的概念时,也曾经同样地遇到困难。 Jones强调,把数学史用在教学上,目的并不是在展现数学史本身,而是在透过这些历史材料背景以达到理解数学、接近数学、并获得学习的自信心上,提供具体的方法。由于从历史资源中,我们可以了解到数学与哲学宗教社会经济甚至知识上的好期有关,例如Leibniz基于对宗教哲学的兴趣和对知识的好奇,建立了二进位运算系统,在现代电脑发展上扮演着一个关键性的角色;非欧几何源于对《几何原本》第五公设的好奇问题而起。却在后来相对论上有了应用。这一类例子可以让学生了解到,数学并非如想像中那样,是一成不变的,任何表面上看起来没有立即实用价值的好奇,都有可能成为日后数学或其它科学的重要基础。基于这样的认识,所以Jones认为在数学教育中,仅注重逻辑形式是不够的,直观、归纳、类比,以及好奇、灵感与信心的重要性,绝不亚于逻辑;而对概念发展历史的洞察,则能提供有关的丰富材料,在课程的安排、概念的教导、刺激学生的兴趣等方面,都将有所贡献。

“Exeter工作小组”在1976年第三届ICME会议中,就发表了他们的一些研究成果。 B. Hughes从历史的角度来看证明的产生,由于Proclus曾在《几何原本第一卷注解》(Commentary on the First Book ofthe Elements)中多次提到,分析方法使希腊数学家发现了许多定理与它们的证明。所谓分析的方法,是从结论到所给条件的过程的演绎讨论;而综合证明则是反其道而行。如此看来,他认为介绍证明给学生,最适合的教学方法即是分析。另外J. Nicolsm则发表了由他所主持的一项数学史的教学计划及评
估;G. Flegg谈到数学史在数学教学中扮演着诱导的重要角色,数学是文化整合的结果忽略其历史,将使学生对数学是什么的概念不够完整等等。
当西方国家肯定此一潮流的价值,并积极展开研究探讨之际,东方国家也开始有人注意到这个情形。香港中文大学数学系萧文强博士1976年9月份的《抖擞》中就发表
了“数学发展史给我们的启发”一文。文中他谈到,从数学发展史来看,数学由生产实践而来,。古文明的数学着重在“怎么做”,到了西元前六世纪的希腊数学,才开始讨论“为什么这样做”,因而在教学中应该多留心实际的例子让学生体会到这一点。不过在课堂上,数学教师经常忽略了数学与生活的关系以为学习数学目的只在于训练学生的思考能力,因此要强调逻辑的严谨。然而从历史上来看,“严谨性”并非一成不变的,今天的严谨在明天可能只是一粗浅的说明。数学虽然是一门逻辑性很强的学科,但单是逻辑并不能导致新的发展,也不能决定数学的内容,从数学发展史来看,做数学很多时候是凭直观经验臆测的,十八世纪Euler在无穷级数上的成就就是个很好的例子。由此看来,数学教师有数学史的修养,对数学有正确的认识而不在将之视为逻辑推理,是极为重要的;否则,我们就只能期望拥有一群只会证明而没有创造的新一代”数学家”了!
数学教育界对数学史的重视,到了第四届ICME会议显得更为热络,在1983年出版的会议记录中,就出现了八篇这一类的论文。例如Bruce E. Meserve即认为数学的历史演变,是帮助学生了解数学及其应用的绝佳材料与资源。他举了一些例子。早期埃及人在面对“如何造一正方形使其面积为原来的两倍”此一问题时,是利用原正方形的对角线为新正方形的边长来回答。我们可以利用折纸来说明,也可以用毕氏定理;但这并不表示埃及人能回答此一问题即是由于他们已经熟悉了毕氏定理。利用分配律展开(a+b)2得到a^2+2ab+b^2,利用图形的说明同样可以获得相同的结果。这种几何表现不仅明显易懂,也使学生了解到几何与代数之间的关联。这些例子使我们了解到,一个我们习惯用现代数学来解决的问题,不一定仅有这种唯一的解法,历史不只一次地告诉我们,曾经有人用更直接具体易懂的方法解决相同的问题。透过历史,我们可以寻找出一个更适合学生的说明方式。 Meserve还指出,数学史在引起学生的“需要”情境上也有贡献,一个简单的例子即无穷级数1−1+1−1+1−1+. . .,在历史上曾经有许多数学家利用不同的方法得到和为0, 1,−1, 2, 1/2等答案;在这种情形下学生就能体会,对无穷级数的进一步探讨与分类显然是迫切需要了。
而Leo Rogers则谈到,历史中前人累积下来的经验,在教学上是值得借镜的。当我们在面对过去的数学史时,必需了解现代的数学根基于过去,而过去也是现在数学严谨性的基础,我们不能用现代的标准否定了过去的数学成就。从此角度来看,教导学生数学的严谨性必需是循序渐进的,我们实不应该过早要求学生表现数学的严密而丧失了感受数学趣味的机会。又如Hans Neils Jahnke以十八世纪末十九世纪初,数与量的概念开始比以往更有系统性的区别为例,来说明数学史对数学教育的贡献。十九世纪在科学与在社会中同样都有重要且深层的改变。就科学而言,被数学化了的经验科学理论逐渐迈出力学,并向其它领域伸出触角,如热的解析、电学等理论,因而使得科学家、哲学家对于数学进入经验物理世界的情形感到疑惑,他们怀疑数学有可能使经验世界更加复杂。这使得当时许多数学家如Lagrange和Monge有好几年不作数学。这一方面是由于整个十
八世纪认为数学的实体就是一些“量”的概念,因而假设了整个经验物理世界的内容是“类量的”(quantity-like)之后,也就同时假设了对现实世界作数学分析的可行性。但是在科学逐步向热力学、电学等能量问题研究讨论之时,数学是否能再如往昔般对科学作出伟大贡献,自然要受到怀疑了。不过这同时也让数学家尝试去定义量以及数学的本质。于是到了十八世纪末十九世纪初,数学家便发展出新的数学定义,把数学看作是一种讨论连结关系(relation)的理论。人们进而相信,能将实体世界或科学世界数学化的先决条件,是事物之间有某种关系存在,而不是事物本身。这样的关系理论并不需要预先假设有量数学史在数学教育中的重要性的概念,数学家放弃了数学为“量的理论”的想法,进而使关系理论成为数学的核心;在这种架构下,函数成为数学研究的重心。据此,如果有人在初等教育中,将集合论、函数等讨论关系的理论作为教导学生数学概念的基础,并以为在数学上最发达最基层的概念,对学生而言也是最简单的,那么,从历史的发展来看,这是完全错误的,Jahn ke认为我们应该以历史为师,先发展量的概念、强调度量的问题,从算术数量之间与函数等的紧密关联着手,进一步认识到关系理论是数学概念了解的核心,才是正确妥当之途。
除了ICME这个组织的大力呼吁之外,国际上也有其它的会议、研究组织以及研究论文关心此一主题。 1982年4月15日,NCTM在加拿大多伦多所举行第60届年会,ISGHPM(注五)即在数学史与数学教育之关联这一主题上安排了一个讨论会,并发表了五篇论文。此外,ISGHPM还继续在1983年NCTM于底特律举行的年会中,就此主题再一次讨论如何在教学中发展历史材料等问题。
我们另一方面也可以在国际性的数学史杂志Historia Mathematica中感受到这样的趋势。此杂志设有“教育”一栏,刊登有关数学史课程计划、数学教育中历史的应用以及数学教师会议的一些历史研究活动。例如1984年以色列的A. Arcavi和Bruck-heimer在“为老师准备的数学史材料的发展与评价”,即谈到其Weizmann科学机构的科学教育部门,正在为职前与在职老师发展有关于中学数学课程的数学史教材;MarciaAscher的“非西方文化的数学概念”,提醒我们注意到数学在不同的人类文化生活中所扮演的不同角色,将有助于扩展学生对数学的认识。如1987年8月在日本举行的国际数学之历史与教育研讨会,有来自美国、巴西、法国、印度、中国大陆、韩国等14位学者与
日本境内60位学者参与。与会学者除了对数学史作学术上的演讲之外,还有第四部份“数学史与数学教育”的讨论,包括了MasamiIsoda的“在数学化的学习过程中利用数学
史”(Using History of Mathematics forMathematization in the Learning Pro-cess)等七篇论文。 1988年7月份在挪威举行的数学史工作小组会议,更将整个重点放在如何展现透过历史材料的应用以改进数学教学上面,根据Historia Mathematica所刊的与会学者与论文名称,包括有美国的Frank Swetz 、Abe Shenitzer ,以及香港的萧文强等22位学者所发表的30篇文章,显现了此一主题讨论的盛况(注六)。
综合上述我们不难理解,1984年于澳大利亚举行的ICME国际会议,会以连续四个讨论会向教育学者们介绍此一理念。第一个讨论会是由George Booker所主持,并
提出在教室中使用数学史的建议大纲,以及在澳大利亚使用过的一些例子和反应。会中认为:学生会发展那些令他们感兴趣的数学问题,因此应把焦点集中在数学的思考过程上,而非数学家们想法的结果。第二个讨论会则由以色列的Rina Hershowiz和法国的Amy Dahan所带领,探讨能为教师及资赋优异学生所使用的数学史,借助历史将
6数学传播十六卷三期民81年9月数学理论与数学发现联结起来。在这种论点确定之后,讨论的重点即应集中在数学史的哪些东西可以达到这个目的。因此第三个讨论会即由Dahan,C. Borowcyz及义大利的Lucia Greuquetti提出适合于中学生的历史材料。他们认为所谓的“历史取向”或“发现取向”(discovery approach)的教学方法,即强调数学学习应是一种建构性的步骤,而非仅是数学的发现结果。这种建构性的引导可使学生对概念更加清楚,因此数学史进入数学教学中是有其价值的。第四个讨论会则
由美国的Florence Fasanelli为,探讨艺术(art)与数学历史之间的相互作用。
1991年6月份的数学教育期刊《Forthe Learning of Mathematics》,由JohnFauvel编辑了一册讨论数学教育中数学史应用的专刊,更可以看出这种结合历史与教学的作法,已经获得数学教育界的普遍重视。数学的历史之所以能应用在数学教育上,除了数学史在数学教育关注到文化层面上有绝对的助益(注七),或是其它人所认为可以提高学生对学习数学的兴趣之外,数学史也在数学教育理论的研究上发挥了作用。在ICMI的分支机构--国际数学教育心理学研究小组(PME)--的研究报告《数学与认知》(Mathematics and Cognition)一书里,认为研究的任务在于发掘教师与学生内在不同的数学认识,以及两者之间的鸿沟应该如何去除,使学习者能从某一旧观点转变到另一新观点。他们认为数学的学习应该采建构的方式,而数学概念算法与证明的发展过程,则是与此种建构方式平行的:
从数学知识发展中个体与历史过程的交互研究,我们可以获得许多益处。
对过去数学家所曾遭受过的阻碍之研究,帮助我们解释今日学生所犯的错误;反过来,研究学生的错误困难与不当的概念化,则有助于我们对数学史的了解(Nesher & Kilpatrick,1990, p.16)。
透过这样的想法,数学史在数学教育上有了导引的作用,成为数学教育理论研究的起点与方针。在同一本书中Cardyn Kieran的“代数学习的认知过程” (Cognitive Processes Involved in Learning School Algebra),或是NCTM于1989年出版的《代数之学习与教学》,都出现了藉由代数的发展历史以区别学生对代数的认知程度的情形。如Kieran将代数的认知过程分为三个阶段:
(1)文辞代数阶段(rhetorical stage),即Diophantos(A.D.250)之前,主要特征是使用一般的语言叙述一些特殊问题的解决法,缺乏对“未知数”的符号或特殊记号的使用。
(2)简字代数(syncopated algebra),从Diophantos用缩写来表示未知量,到16世纪末。
(3)符号代数(symbolic algebra),由Vieta使用字母来替代给定量开始。这时候表达一般的解法成为可能,代数的使用被作为是证明支配数字关系之规则的一种工具。

数学史在数学教育中的重要性Gerard Vergnaud也谈到:

今日数学所呈现的结构性与叙述性的面貌,是历史长久发展的结果。学生总是会经历相同的主要概念上的困难,而且它们也必须克服那些数学家所曾经遭遇过的、同样的认识上的阻碍。 (Nesher & Kilpatrick eds., 1990,p.97)。

这些事实,正足以说明了数学概念的发展历史在数学教育研究上有着广泛而深刻的影响与助益。
在国际数学教育界满缢着数学史的气氛之下,反观国内的数学教育界对这样的认识仍显得极为缺乏,须要有更多的人对这样的趋势加以了解,并多方研究国外已有的成果以为参考,发展出一套从中国的数学出发且融合西方数学、适合国人的数学教育方式,相信是今后国内数学教育中一块值得努力耕耘的沃土!
注解:
注一:笔者的硕士论文,即在于探讨此一可能。
注二:有别于过去以培养科学科技人才、从教师的角度去评判学生对错的数学教育。
注三:即International Commission on Mathematical Education的简称。
注四:NCTM为National Council of Teachers of Mathematics即美国中学数学教师协会的简称。
注五:为International Study Group of History and Pedagogy of Mathematics的简称,此为一非正式团体,其目的在鼓励世界各国关心数学教育的人能在数学教育中利用数学史来激发学生的兴趣,鼓励学生欣赏数学的自然及其在文化发展中所扮演的角色。
注六:此会议记录已出版。见(Swetz, 1992)。
注七:在Bishop的“文化与数学课程”一文中有详细的说明。
参考书目:
1.杨淑芬《从皮亚杰的认识论谈数学史与数学教育的关联》,硕士论文,师大数学研究所,1992。
2.萧文强“数学发展史给我们的启发,”《抖擞》,第17卷(1976), 46-53.
3. Arcavi, A. & M. Bruckheimer ,“Development and Evaluation of Materials on the H istory of Mathematicsfor Teachers,” Historia Mathematica,Vol.11, No.2,1984, 232.
4. Ascher, Marcia “Mathematical Ideasin Non Western Cultures,” Historia Mathematica, Vol.11, No.1, 1984, 76-80.
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6. Bekken, Otto B. & Bengt Johanson“History of Mathe- matics,” Historia Mathematica, Vol.16, No.1, 1989, 90-92.
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9. Fauvel, John (ed) 《For the Learning of Mathmatics》, Vol.11, no.2, 1991, (这是一份讨论数学史与数学教学的专刊).
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11. ICME-6 Report “Psychology of Math-ematics Education ,” For the Learningof Mathematics, Vol.9, No.3, 1989, 43-44.
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19. Swetz, Frant eds., 《Learn from th Masters!》, The Pennsylvania Stat University, 1992.
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21. Zweng, Marilyn et al eds. 《 Proceedings of the Fourth Internationa Congress on Mathematical Education》, Boston: Bir- khauser, 1983.
-本文作者任教于松山高中-
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