《逻辑与演绎科学方法论导论》学习笔记

《逻辑与演绎科学方法论导论》
关于和数学基础的危机相联系的问题，塔尔斯基在他的书中几乎没有谈到；在书中没有说明一系列数学基础原有的重要结果，例如，与形式化“语言”中“真理性”概念相关的结果或与演绎理论的“无矛盾性”和“完全性”的各种定义相关的结果。他觉得它们对于通俗的叙述过于困难，而他屡次强调，他的书只是个引论。作为引认，这本实在令人满意。书的开端已经很好；一开始，作者就阐明数学中的值和数学中使用的变数方法，而且立即讨论作为数学学科的特点的两种类型的公式：1.命题函项，和2.指示函项。也应当指出这种情形，就是作者成功地避免了在书中有过多的形式计算，而把相应的材料放到练习中去。当然，最后这一点是以读者能够做出所有附在每一章后面的练习，包括那些对于演算工具的构造原则上很重要的问题为先决条件的。这些练习中的多数是适当地选择和表述出来的，它们是这样的简单，的确使得读者能够独立地做出来。

本书的目的就是要向那些对现代数学有兴趣，而不曾实际参与它的工作的读者们，至少在数学发的第三个方面，即其在深度方面的成长提供一个最一般的观念。我的目的是要使读者熟悉一种名为数理逻辑学科的最重要概念，这门学科是为了把数学建立在更坚固、更深刻的基础上创造出来的；这一个学科，虽然它的存在只有短短的一个世纪，却已经达到了高度的完全性（kemin:何为完全性？完善？完美？）的水平，而且在我们的知识的总和中它中它今天所起的作用远远超越于其原定的范围。我的目的是要表明，逻辑的一些概念渗透到数学的整体中，它把所有的专门数学概念了解为特殊事例，并把逻辑规律恒应用于--自觉不自觉的--数学推理之中。最后，我试图提出构造数学理论的一些最重的原则--这些原则也构成另外一种学科、数学方法论的主题--并指明臬在实际上着手应用这些原则。


科学理论是“定理集合”
每一种科学理论都是许多语句组成的系统。这些语句都被断定为真的，可叫做定律或断定了的命题。在数学中，这些语句都按照一些原则（在第六章中将详细讨论这些原则）一个接一个地排列成确定的序列。在数学中，这些语句的正确性都要建立起来。建立语句的正确性，就叫做证明。被证明过的语句，就是我们所谓的定理。
kemin:科学理论可以理解为真理集！只是每一种学科有其特定的“真理”子集罢了。一条真理当然是真命题了，通俗的说是真话，陈述句。

常项与变项
在数学的定理与证明中出现的语词和符号，可以分为常项与变项。常项有确定的意义且在运用过程中意义不变。变项则相反。
kemin:就是原始逻辑元素——概念的变形，确定的概念与不确定的概念

语句函项与公式
“x是一个正整数”是一个含有变项的表达式，我们称其为语句函项或函项或条件。不叫语句，因为在为变项代入常项前该表达式没有意义。完全由数学符号（而不是由日常语言的语词）所构成的语句函项与语句叫公式。如：“x+y=5”。
kemin:函项也就是不那么原始的逻辑元素（思维形态）——命题，只是命题中某个概念不确定。

指示函项（摹状函项）是“代数式”
除了语句函项，还有别的包含变项的表达式值得我们注意，就是指示函项或摹状函项。一个指示函项或摹状函项是这样的表达式，如果将它所包含的变项换为常项，那么，它就变成一个指示词或摹状词，如表达式：
2x+1
便是，因为如果用一个任意的数值常项（比如2）去代换变项，我们便得到一个指词（如5）。在算术中就是所谓的代数式了。这些代数式是由常项、数值常项与四种基本算术的符号构成，如“2(x+y-z)”；但是用等号将两个代数式联起来后成了公式了，就是语句函项。
kemin:指示函项就是“复合概念”

全称语句与普遍性质
除了用常项支代换变以外，还有一个方法可以使我们由一个语句函项得到一个语句（Kemin：我的目的就是为了到一个语句！）。让我们来研究下面的公式：
x+y=y+x
这是一个包含两个变项的语句函项，任何两个任意数都可以满足这个方程式。我们用下面这句简单的话表示上面所说的情形：
对于任何数x与y，x+y=y+x。
这已经不是一个语句函项，而是一个语句了，而且还是一个真语句了；这是算术中最基本的定律之一，即加法交换律。数学中的那些最重要的定理都同样是这样表示的，即一切所谓全称语句，或所谓具有普遍性质的语句，这些语句断定某个范畴中任意事物（例如，在算术这个范畴中，任意的数）都具有一种如此如此的性质。

kemin:什么是定律定理？就是固定的规律原理！表现形式是一条命题语句。而一条命题语句本身是对某事物的某性质的陈述。某条特定的真命题当然有价值，但是能去掉具体事物，对一类事物均为真的命题更有价值。那句话，越普适的东西越有价值，数学和逻辑本身就是一个例子。

存在语句与存在性质
看下面的语句函项：
x>y+1
并不是任何两个数都能满足这个公式。如“3>4+1”。这是一假语句。因此，如果有人说：
对于任何数x与y，x>y+1
那么，虽然他说了一个假语句，然而却是一个有意义的语句。但是，另一方面，也有许多对的数满足上面这个语句函项。如“4>2+1”。
某些两个数能满足这个公式，可以简单的地表示如下：
有数x与y，使得x>y+1。
这表达式是真语句，它就是存在语句或具有存在性的语句的例子。这种语句表示具有某某种性质的事物（如数）的存在。